Calcolo del montante di una rendita immediata anticipata Consideriamo la rata fissa dell'importo di 1 €; per qualunque altro importo bastera' poi moltiplicare tale importo per il nostro risultato Consideriamo sulla retta dei tempi una rendita immediata anticipata di rata 1 € e di durata n anni i numeri sotto la retta indicano i periodi Il primo euro sara' versato all'inizio del primo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per n periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)n€ = un Il secondo euro sara' versato al'inizio del secondo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per n-1 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)n-1€ = un-1 Il terzo euro sara' versato all'inizio del terzo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per n-2 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)n-2€ = un-2 ............................... ............................... Il quartultimo euro sara' versato all'inizio del quartultimo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per 4 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)4€ = u4 Il terzultimo euro sara' versato all'inizio del terzultimo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per 3 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)3€ = u3 Il penultimo euro sara' versato all'inizio del penultimo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per 2 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)2€ = u2 L'ultimo euro sara' versato all'inizio dell'ultimo periodo e avra' valore 1·(1+i)€ = u per semplificare alla fine ho sottointeso gli € Raccogliendo per calcolare il montante dovremo eseguire la somma = un + un-1 + un-2 + ............... + u4 + u3 + u2 + u se raccolgo u da ogni termine ottengo =u( un-1 + un-2 + un-3 + ............... + u3 + u2 + u + 1) il termine tra parentesi e' esattamente il montante della rendita posticipata trovato nella pagina precedente. In effetti sarebbe bastato dire che per passare dalla rendita anticipata alla rendita posticipata basta spostare la rendita anticipata in avanti di 1 anno e quindi moltiplicarla per u secondo la formula = u· infatti tutti i versamenti della rendita posticipata vengono fatti un anno dopo rispetto ai versamenti di quella anticipata ora procedo come prima: per la proprieta' commutativa dell'addizione posso scrivere = u( 1 + u + u2 + u3 + ............... + un-3 + un-2 + un-1) Si vede ora che, dentro parentesi, si tratta di una progressione geometrica di n termini di ragione u e quindi, applicando la formula della somma = u (1· un - 1 ) u - 1 possiamo rendere questa formula un po' piu' semplice sviluppando il fattore u = (1+i) (1+i)n - 1 1+i - 1 sommando otteniamo la formula finale = (1+i)n - 1 i (1+i) cioe'. come avevamo gia' detto, per ottenere il momtante della rendita anticipata basta moltiplicare il montante della rendita posticipata per 1+i (ricorda che il montante della rendita anticipata e' calcolato un anno dopo l'ultimo versamento, quindi intuitivamente sposti in avanti nel tempo di 1 anno i versamenti della rendita posticipata) = ·u = ·(1+i) Vediamo anche qui un semplice esempio trovare il montante di una rendita anticipata di 20 anni di rata 1200 € al tasso i = 0,025 dati: R = 1200 € i = 0,025 n = 20 Cerco sulle tavole "montante della rendita unitaria anticipata. valori di " per i=0,025 e n=20 trovo il valore 26,18327405, quindi avro' il montante 26,18327405·1200 € = 31419,92886 € che arrotondo a € 31419,93