valore attuale di una rendita immediata anticipata

valore attuale di una rendita immediata anticipata

Consideriamo la rata fissa dell'importo di 1 €; per qualunque altro importo bastera' poi moltiplicare tale importo per il nostro risultato

Consideriamo sulla retta dei tempi una rendita immediata anticipata di rata 1 € e di durata n anni

i numeri sotto la retta indicano i periodi: essendo la rendita anticipata la rata e' pagata all'inizio del periodo

Il primo euro sara' versato all'inizio del primo periodo e e avra' valore 1€ = 1
Il secondo euro sara' versato all'inizio del secondo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per per 1 periodo quindi avra' valore 1·(1+i)^-1€ = v
Il terzo euro sara' versato all'inizio del terzo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per 2 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-2€ = v²
...............................
...............................
Il quartultimo euro sara' versato all'inizio del quartultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-4 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-(n-4)€ = v^n-4
Il terzultimo euro sara' versato all'inizio del terzultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-3 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-(n-3)€ = v^n-3
Il penultimo euro sara' versato all'inizio del penultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-2 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-(n-2)€ = v^n-2
L'ultimo euro sara' versato all'inizio dell'ultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-1 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-(n-1)€ = v^n-1
per semplificare alla fine ho sottointeso gli €

Raccogliendo per calcolare il montante dovremo eseguire la somma
= 1 + v + v² + ............... + v^n-4 + v^n-3 + v^n-2 + v^n-1
Si vede ora che si tratta di una progressione geometrica di n termini di ragione u e quindi, applicando la formula della somma Essendo la ragione v minore di 1 utilizzo la seconda formula

= 1·

1 - vⁿ

1 - v

=	1 - vⁿ 1 - v

possiamo trasformare questa formula in altre forme equivalenti anch'esse molto importanti: vediamo come

Considerato che vale

1-v = 1 -

1

1+i

1+i-1

1+i

i

1+i

se vado a sostituire nella formula ottengo

=	1 - vⁿ i	=	1 - vⁿ i	·(1+i)
	1 + i

E quindi otteniamo la formula = (1+i) Cioe' anche nel valore attuale (come nel montante) per passare da una rendita posticipata ad una rendita anticipata basta moltiplicare per 1+i

Per il calcolo pratico del valore attuale conviene pero' utilizzare un'altra formula
partiamo dalla formula trovata precedentemente

1 - vⁿ

i

·(1+i)

Eseguiamo la moltiplicazione

1 - vⁿ

i

·(1+i)

1+i-(1+i)·vⁿ

i

1+i- u·vⁿ

i

1+i- v^n-1

i

spezzo la frazione

1-v^n-1

i

i

i

il primo termine e' il valore attuale di una rendita posticipata di n-1 periodi, quindi posso scrivere

= +1

Questa formula esprime che per ottenere una rendita anticipata basta aggiungere la prima rata ad una rendita posticipata minore di un periodo

Vediamo un semplice esempio
trovare il montante di una rendita posticipata di 10 anni di rata 2000 € al tasso i = 0,02
dati:
R = 2000 €
i = 0,02
n = 10
Cerco sulle tavole "montante della rendita unitaria posticipata. valori di

"
per i=0,02 e n=10 trovo il valore 10,94972100, quindi avro' il montante
10,94972100·2000 € = 21899,442 €