Rapporto fra due termini variabili

La situazione si fa piu' interessante quando abbiamo una frazione con termini variabili sia al numeratore che al denominatore; supponiamo prima che i due termini differiscano di 1

Queste successioni applicano N in un sottoinsieme di Q
a:N→Q

Supponiamo prima che il numeratore superi di 1 il denominatore

2

1 		,   3

2		 ,   4

3		 ,   5

4		 ,   6

5		   ,....... n+1

n		 , (n+1)+1

n+1		   ,.......


e' una successione convergente i cui termini sono tutti superiori ad 1 e che tende al valore 1
Supponiamo ora che il denominatore superi di 1 il numeratore

1

2 		,   2

3		 ,   3

4		 ,   4

5		 ,   5

6		   ,....... n

n+1		 , n+1

(n+1)+1		   ,.......

Questa e' una successione convergente i cui termini sono tutti inferiori ad 1 e che tende al valore 1
se invece della costante 1 prendo qualunque costante diversa da zero la successione che ottengo e' sempre dello stesso tipo: cioe' converge sempre al valore 1

Se, ad esempio, considero come costante il valore 5 ottengo per la prima successione (il numeratore supera di 5 il denominatore)
5+1

1 		,   5+2

2		 ,   5+3

3		 ,   5+4

4		 ,   5+5

5		   ,....... n+5

n		 , (n+5)+1

n+1		   ,.......
o meglio
6 ,   7

2		 ,   8

3		 ,   9

4		 ,   2   ,....... n+5

n		 , (n+5)+1

n+1		   ,.......
Anche questa successione e' formata di tutti termini superiori ad 1 e tende al valore 1

Per la seconda successione, considerando sempre 5 il valore della costante, avremo
1

5+1 		,   2

5+2		 ,   3

5+3		 ,   4

5+4		 ,   5

5+5		   ,....... n

n+5		 , n+1

(n+1)+5		   ,.......
o meglio
1

6 		,   2

7		 ,   3

8		 ,   4

9		 ,   1

2		   ,....... n

n+5		 , n+1

(n+1)+5		   ,.......

E' formata di tutti termini inferiori ad 1 e tende anch'essa al valore 1

Se invece la costante vale 0 allora otteniamo una successione con tutti termini uguali ad 1 (di un tipo gia' considerato)