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Prima di procedere al calcolo vi racconto un aneddoto che spero vi fara' meglio capire l'aspetto del problema: Gauss, uno dei piu' grandi matematici mai vissuti, aveva un maestro che, per poter avere un po' di pace, dava talvolta agli allievi come esercizio il sommare un centinaio di numeri di 4 o 5 cifre ciascuno, tutti tali che la differenza fra due numeri consecutivi fosse costante (quindi una progressione aritmetica): semplificando molto l'esercizio e' come sommare i numeri da 1 a 100. Ebbene Gauss (a 10 anni!) si limito' a scrivere sulla lavagnetta il risultato senza eseguire tanti calcoli, restando poi seduto al suo banco a braccia conserte mentre i suoi compagni sudavano per una buona ora Quale fu il metodo seguito da Gauss? se sommo 1 con 100 ottengo 101 se sommo 2 con 99 ottengo 101 se sommo 3 con 98 ottengo 101 ............................................... ............................................... se sommo 49 con 52 ottengo 101 se sommo 50 con 51 ottengo 101 in pratica ottengo 101 per 50 volte cioe' 5050 Qui si vede la grandezza matematica di Gauss: quando si affronta un problema non si deve correre a fare i calcoli ma bisogna cercare di vedere tutte le possibili relazioni che possono esistere fra gli elementi del problema stesso: forse c'e' una scorciatoia che ci permette di risolvere senza troppe operazioni Vogliamo sommare n termini di una progressione aritmetica data, la somma sara' data da Sn = a1 + a2 + a3 + ........... + an-2 + an-1 + an Per la proprieta' commutativa della somma posso anche scrivere Sn = an + an-1 + an-2 + ........... + a3 + a2 + a1 sommo termine a termine le due uguaglianze Sn+Sn = 2Sn = (a1+an) + (a2+an-1) + (a3+an-2) .......... + (an-2+a3) + (an-1+a2) + (an+a1) essendo la differenza fra i termini costante (progressione aritmetica) avremo che le somme dei termini dentro parentesi sono uguali (a1+an) = (a2+an-1) = (a3+an-2)= .... = (an-2+a3) = (an-1+a2) = (an+a1) quindi, essendo n le parentesi, posso scrivere 2S = (a1+an)·n da cui dividendo per 2, otteniamo la formula finale
esempio 1: facciamo un esempio tipo quello di Gauss limitandoci a 20 termini Eseguire la seguente somma 7291+7489+7687+7885+8083+8281+8479+8677+8875+9073+9271+9469+9667+9865+10063+10261+10463+10661+10859+11057= La differenza fra due termini consecutivi e' costante; si tratta di una progressione aritmetica e la ragione e' d = 198 (ho scelto 198 perche', scritto il primo numero a caso, e' molto facile scrivere gli altri: basta aumentare ogni numero di 200 e poi togliere 2: cioe' 7291+200 =7491 e poi 7491-2=7489 eccetera...) I termini sono n = 20 Applico la formula
quindi S20= 183480 esempio 2: Sommare i primi quaranta termini della progressione aritmetica 7, 17/2, 10,...... Devo trovare il quarantesimo temine, ma prima devo trovare la ragione: basta fare la differenza fra due termini consecutivi;
adesso applico la formula
quindi S40= 1450 |
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