Somma di n termini di una progressione geometrica La somma di n termini di una progressione geometrica e' alla base del calcolo di una rata, quindi fondamentale in matematica finanziaria ed attuariale Vogliamo sommare n termini di una progressione geometrica data, la somma sara' data da Sn = a1 + a2 + a3 + ........... + an-2 + an-1 + an Moltiplicando tutti i termini sia prima che dopo l'uguale per la ragione q ottengo Sn·q = a1·q + a2·q + a3·q + ........... + an-2·q + an-1·q + an·q Siccome ogni termine della progressione moltiplicato per q mi da' il termine successivo posso scrivere Sn·q = a2 + a3 + a4 + ........... + an-1 + an + an·q l'ultimo termine lo scrivo an·q invece che an+1 Adesso faccio la differenza fra questa uguaglianza e quella iniziale Sn·q =       a2 + a3 + a4 + .............. + an-1 + an + an·q    - Sn   = a1 + a2 + a3 + ........... + an-2 + an-1 + an ________________________________________________________ Sn·q - Sn =    -a1 + an·q infatti gli altri termini si eliminano fra loro Adesso la tratto come un'equazione per calcolare Sn Raccolgo Sn Sn·(q - 1) = an·q - a1 ma an = a1·qn-1 ottengo Sn·(q - 1) = a1·qn-1·q - a1 Cioe' Sn·(q - 1) = a1·qn - a1 raccolgo anche a1 Sn·(q - 1) = a1·(qn - 1) divido entrambe i membri per (q-1) ed ottengo la formula finale Sn = a1·(qn - 1) q - 1 o meglio Sn = a1· qn - 1 q - 1 Nota: se la ragione e' minore di 1 di solito si usa la formula equivalente Sn = a1· 1 - qn 1 - q che si ottiene semplicemente cambiando di segno sia il numeratore che il denominatore: in questo modo, anche se la ragione e' minore di 1, sia il numeratore che il denominatore sono positivi esempio : calcoliamo la somma dei primi 10 termini della progressione geometrica 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536 la ragione q vale 2 (per trovarla basta dividere il secondo termine per il primo 6:3=2) quindi applico la formula S10 = a1· qn - 1 q - 1 = 3· 210 - 1 2 - 1 = 3· ( 210 - 1) = 3·(1024-1) = 3(1023) = 3069 quindi S10= 3069