Prodotto di n termini di una progressione geometrica E' possibile calcolare il prodotto di n termini di una progressione geometrica con tutti i termini positivi Consideriamo la progressione a1, a2, a3, a4,.... an-2, an-1, an, ..... Vediamo come trovare una formula per calcolare, ad esempio, il prodotto dei primi n termini Pn = a1·a2·a3· ........ ·an-2·an-1·an· Prima osserviamo che vale la proprieta': Data una progressione geometrica limitata il prodotto di due termini equistanti dagli estremi equivale al prodotto degli estremi vediamolo su un esempio: considero la progressione geometrica limitata a 7 termini 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 se io moltiplico gli estremi 3·192 ottengo 576 se prendo 6 e 96 (secondo e sesto termine) che sono equidistanti dai due estremi anche il loro prodotto e' 6·96=576 infatti il secondo termine della progressione si ottiene dal primo moltiplicandolo per la ragione, mentre il penultimo termine si ottiene dall'ultimo dividendolo per la ragione, quindi il risultato e' identico: quindi se i termini che considero sono equidistanti dagli estremi il primo e' moltiplicato ed il secondo e' diviso per la ragione lo stesso numero di volte, di conseguenza, moltiplicandoli, ottengo sempre un risultato uguale al prodotto degli estremi 3·192 = 576 6·96 = 576 12·48 = 576 24·24 = 576 48·12 = 576 96·6 = 576 192·3 = 576 Considero il prodotto dei primi n termini Pn = a1·a2·a3· ........ ·an-2·an-1·an· Per la proprieta' commutativa del prodotto posso scrivere Pn = an·an-1·an-2· ........ ·a3·a2·a1· Moltiplichiamo fra loro le due uguaglianze, usando al proprieta' associativa posso associare i termini in ordine Pn2 = (a1·an) · (a2·an-1) · (a3·an-2) .... ·(an-2·a3) · (an-1·a2) · (an·a1) per la proprieta' vista sopra ognuno dei prodotti entro parentesi vale a1·an, quindi, essendo n tali prodotti, posso scrivere Pn2 = (a1·an)n e quindi, estraendo al radice quadrata, ottengo il risultato finale Pn = √ (a1·an)n esempio : calcoliamo il prodotto dei 7 termini della progressione geometrica precedente 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 P7 = √5767 = 4.586.471.424 (per fare i calcoli e' ottima la calcolatrice del computer) cioe' 3·6·12·24·48·96·192 = 4.586.471.424