Successione convergente Diremo che la successione a1,   a2,  a3, ..... an, ..... e' convergente se ammette limite finito Le espressioni "successione a limite finito" e "successione convergente" sono equivalenti: ma e' piu' semplice dire "convergente" piuttosto che"tende ad un valore finito", quindi d'ora in avanti useremo tale termine cioe' se preso un numero ε piccolo a piacere, esiste in sua corrispondenza un numero kε∈N e dipendente da ε tale che quando i termini della successione distano dal limite a per meno di ε allora ogni n e'superiore a kε In simboli limn→∞ an = a     ⇔     |an - a|<ε   ⇒   n > kε Se una successione non converge allora puo' divergere Pero' se non converge e non diverge diremo che la successione e' indeterminata Se la successione a1,   a2,  a3, ..... an, ..... converge ad a allora la successione a1-a,   a2-a,  a3-a, ..... an-a, ..... e' infinitesima Vale anche il viceversa Se la successione a1-a,   a2-a,  a3-a, ..... an-a, ..... e' infinitesima allora la successione a1,  a2,  a3, ..... an, ..... converge ad a Esercizio: verifichiamo che la successione 2 ,   3 2 ,   4 3 ,   5 4 , ........ n+1 n ,  ..... converge ad 1 Utilizzo la definizione di limite: Se considero un mumero piccolissimo ε, devo mostrare che esiste un legame fra ε e l'indice n tale che piu' diminuisce ε piu' aumenta n. Dimostriamo che da un certo momento in poi, se n e' grande, vale: | n+1 n - 1 |< ε eseguo la somma dentro il modulo: m.c.m. = n | n+1 -n n |< ε | 1 n |< ε essendo n un numero naturale, considerato all'interno dei numeri reali e' certamente positivo e quindi posso togliere il modulo ed ottengo 1 n < ε utilizzo la proprieta' Se in una disuguaglianza considero gli inversi allora la disuguaglianza cambia di verso. ed ottengo n < 1 ε questa espressione e' equivalente alla prima Essendo ε molto piccolo segue che 1/ε e' molto grande ed, essendo n>1/ε piu' diminuisce ε piu' aumenta il valore di n come volevamo