Somma di limiti di successioni convergenti Se le successioni a1,  a2,  a3,  a4, .........  an,  ....... e b1,  b2,  b3, b4, .........  bn,  ....... sono convergenti allora anche la loro somma converge e il limite della loro somma e' uguale alla somma dei limiti limn→∞ (an+bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn Per esercizio proviamo a dimostrarlo Supponiamo di avere limn→∞ an = a e limn→∞ bn = b allora le successioni a1-a,   a2-a,  a3-a, ..... an-a, ..... e b1-b,   b2-b,  b3-b, ..... bn-b, ..... sono infinitesime per la proprieta' gia' vista Ma abbiamo anche visto che la somma di due successioni infinitesime e' infinitesima, quindi e' infinitesima la successione a1-a + b1-b,   a2-a + b2-b,  a3-a + b3-b, ..... an-a + bn-b, ..... per la proprieta' associativa posso scrivere (a1 + b1) - (a+b),   (a2 + b2) - (a+b),  (a3 + b3 - (a+b), ..... (an + bn) - (a+b), ..... essendo questa infinitesima ne deriva che la successione (a1 + b1),   (a2 + b2),  (a3 + b3, ..... (an + bn), ..... tende ad a+b, quindi limn→∞ (an+bn) = a+b = limn→∞ an + limn→∞ bn come volevamo per essere proprio precisi dovremmo lavorare con i moduli per non aver problemi con i segni, ma, almeno per ora, accontentiamoci ....