Prodotto di limiti di successioni convergenti Se le successioni a1,  a2,  a3,  a4, .........  an,  ....... e b1,  b2,  b3, b4, .........  bn,  ....... sono convergenti allora anche il loro prodotto converge e il limite del loro prodotto e' uguale al prodotto dei limiti limn→∞ (an·bn) = limn→∞ an · limn→∞ bn Per esercizio proviamo a dimostrarlo, pero' qui ci vogliono i moduli e precisamente il teorema sui moduli che dice: il modulo di una somma e' minore od uguale alla somma dei moduli degli addendi |x+y|≤ |x|+|y| Supponiamo di avere limn→∞ an = a e limn→∞ bn = b Devo dimostrare che ab e' il limite di an·bn, considero |an·bn - ab|= devo mostrare che e' infinitesimo; tolgo e aggiungo il termine abn |an·bn - ab|= |an·bn - a bn +a bn - ab| per il teorema sui moduli posso scrivere |an·bn - a bn + a bn - ab| ≤ |an·bn - a bn| + |a bn - ab|= posso raccogliere = |bn·(an - a)| + |a·(bn - a)| = essendo a il limite di an allora |an - a| e' infinitesima ed essendo |bn·(an - a)| prodotto di una successione limitata (bn) con una successione infinitesima allora e' infinitesimo Stesso ragionamento per l'addendo a·(bn - a): essendo b il limite di bn allora |bn - b| e' infinitesima ed essendo a un limite finito allora il suo prodotto con una successione infinitesima e' infinitesimo quindi il termine |an·bn - ab| essendo minore od uguale di due infinitesimi e' anche lui infinitesimo e ne consegue che ab e' il limite di an·bn, come volevamo