Conseguenze del teorema della permanenza del segno Come prima conseguenza possiamo dire che vale Se una successione numerica reale ammette limite maggiore di un numero reale c allora, da un certo termine in poi, tutti i suoi termini sono maggiori di c Facendo riferimento alla rappresentazione cartesiana e' come se,rappresentato il teorema della permanenza del segno, ci mettessimo una retta orizzontale y=c, vedi ad esempio i primi grafici di questa pagina: c potrebbe essere il bordo non marcato della striscia grigio-azzurra abbiamo due possibilita' la successione e' decrescente: allora si trova piu' in alto di c e quindi tutti i suoi termini sono maggiori di c la successione e' crescente: allora ha i primi termini minori di c, un termine che, se esiste, e' uguale a c, e quindi tutti i suoi termini successivi che sono maggiori di c e vale, analogamente: Se una successione numerica reale ammette limite minore di un numero reale c allora, da un certo termine in poi, tutti i suoi termini sono minori di c Il teorema della permanenza del segno ci permette anche di enunciare il seguente teorema utile per il confronto fra successioni Se una successione numerica reale ammette limite ed ha tutti i termini non negativi allora essa converge ad un numero positivo o nullo logicamente vale anche Se una successione numerica reale ammette limite ed ha tutti i termini non positivi allora essa converge ad un numero negativo o nullo infatti per il teorema della permanenza del segno i termini piu' "avanzati" della successione hanno lo stesso segno del limite e anche il limite deve avere lo stesso segno di tali termini; fa eccezione una successione che sia convergente a zero, perche' mentre tutti i termini "avanzati" della successione sono positivi (o negativi) il limite invece sara' zero che, notoriamente, non ha segno: Da qui la precisazione "positivo o nullo" ( "negativo o nullo")