Teorema della minorante prima di enunciare il teorema introduciamo il concetto di successione minorante e successione maggiorante date le successioni a1  a2  a3  ...... an  ....     e     b1  b2  b3  ...... an  .... se abbiamo a1≤b1    a2≤b2    a3≤b3    ............. an≤bn    ................. allora diremo che la prima successione e' una minorente della seconda e la seconda e' una maggiorante della prima Ora possiamo enunciare il teorema: Consideriamo le due successioni a1,   a2,   a3,  ...... an,  ....     e     b1,   b2,   b3, ,   ...... bn  .... che abbiano limite finito; se la prima e' una minorante della seconda allora vale limn→∞ an  ≤  limn→∞ bn Per esercizio dimostriamolo: abbiamo le due successioni a1,   a2,   a3,  ...... an,  ....     e     b1,   b2,   b3, ,   ...... bn  .... tali che a1≤b1    a2≤b2    a3≤b3    ............. an≤bn    ................. e sappiamo che vale limn→∞ an = a      limn→∞ bn = b      con a ≠ b se a ≠ b allora per definizione di limite posso trovare un ε abbastanza piccolo tale che i due intorni sulla retta reale |a-ε| e |b - ε| siano disgiunti quindi i termini "avanzati" di an si troveranno nel primo intorno ed i termini "avanzati" di bn si troveranno nel secondo intorno quando l'indice n>kε (essendo kε un numero naturale dipendente da ε). Essendo i numeri reali del primo intorno minori dei numeri reali del secondo intorno ne segue la tesi