Successioni monotone premettiamo i concetti: una successione e' crescente in senso lato se abbiamo a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ..... ≤ an ≤ .... similmente una successione e' decrescente in senso lato se abbiamo a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ..... ≥ an ≥ .... una successione e' crescente in senso stretto se abbiamo a1 < a2 < a3 < ..... < an < .... similmente una successione e' decrescente in senso stretto se abbiamo a1 > a2 > a3 > ..... > an > .... Si definisce monotóna crescente una successione sempre crescente (in senso lato o in senso stretto) Si definisce monotóna decrescente una successione sempre decrescente (in senso lato o in senso stretto) il seguente teorema ha un'importanza fondamentale Consideriamo l'insieme dei valori dei termini di una successione Una successione numerica reale monotona crescente tende verso l'estremo superiore dell'insieme numerico dato dal valore dei suoi termini Questo comporta che se la successione e' limitata essa converge, se e' illimitata essa diverge positivamente Naturalmente vale anche Una successione numerica reale monotona decrescente tende verso l'estremo inferiore dell'insieme numerico dato dal valore dei suoi termini Questo comporta che se la successione e' limitata essa converge, se e' illimitata essa diverge negativamente come esercizio dimostriamo il primo teorema abbiamo la successione monotona crescente a1 , a2 , a3 , ..... an , .... e vale limn→∞ an = a se la successione e' limitata ed a e' il suo limite allora dato ε si puo' trovare un numero naturale kε tale che akε > a-ε Ma se prendiamo un valore n > kε avremo, essendo la successione monotona crescente, a - ε < akε < an ≤ a sarebbe a dire che gli an cadono nell'intorno ( a - ε ; a] diminuendo il valore di ε ci avvicineremo quanto vogliamo all'estremo superiore che quindi coincide con il limite a