Un esempio Come esempio di applicazione di alcuni dei concetti finora sviluppati mostriamo che la successione (1 + 1)1 ,   (1 + 1 2 )2 ,   (1 + 1 3 )3 ,   (1 + 1 4 )4 ,   ........ (1 + 1 n )n , ........ e' convergente e che il valore del suo limite e' compreso fra 2 e 3 Per mostrare che e' convergente mostriamo che e' crescente in senso stretto e poi mostriamo che e' limitata, quindi, per il teorema della pagina precedente avremo che ammette limite uguale all'estremo superiore dell'insieme dei valori dei suoi termini Mostriamo che e' monotona strettamente crescente: considero il termine n-esimo (1 + 1 n )n lo sviluppo come potenza di un binomio con la formula di Newton (1 + 1 n )n = ∑k=0,1,...n ( n k ) 1n-k 1 nk = ∑k=0,1,...n ( n k ) 1 nk   =   Non ho scritto nell'ultimo passaggio 1n-k perche' il suo valore e' sempre 1 e quindi, moltiplicando, non influisce evidenzio il primo termine dello sviluppo, cioe' il termine per cui abbiamo k= 0 ottengo   =   1 + ∑k=1,2,...n n(n-1)(n-2).....(n-k+1) k! 1 nk   =   adesso evidenzio il secondo termine cioe' il termine che abbiamo per k=1, facendo i calcoli tale termine vale 1   =   1 + 1 + ∑k=2,...n n(n-1)(n-2).....(n-k+1) k! 1 nk   =   suddivido i termini frazionari: pongo prima 1/k!   =   2 + ∑k=1,2,...n 1 k! n(n-1)(n-2).....(n-k+1) nk   =   scompongo il termine frazionario calcoli   =   2 + ∑k=2,...n   1 k!   (1 - 1 n )·(1 - 2 n ).......(1 - k-1 n ) Ora sviluppo il termine successivo an+1 (1 + 1 n+1 )n+1 Senza rifare tutti i calcoli bastera' nel risultato sostituire n+1 al posto di n Ottengo (1 + 1 n+1 )n+1   =   2 + ∑k=2,...n+1   1 k!   (1 - 1 n+1 )·(1 - 2 n+1 ).......(1 - k-1 n+1 ) adesso considero la disuguaglianza: ∑k=2,...n   1 k!   (1 - 1 n )·(1 - 2 n ).......(1 - k-1 n ) <∑k=2,...n+1   1 k!   (1 - 1 n+1 )·(1 - 2 n+1 ).......(1 - k-1 n+1 ) Questa disuguaglianza e' certamente valida: infatti, considerando termine a termine a destra, nella sommatoria abbiamo un addendo in piu' rispetto a sinistra (il termine con k=n+1) considero i fattori a destra e sinistra per ogni addendo: dentro parentesi la frazione, aumentando il denominatore da n ad n+1, diminuisce di valore , quindi se tolgo da 1 il valore della frazione avro' un risultato maggiore a destra rispetto che a sinistra Ne segue che, essendo ogni termine minore del successivo, la mia successione e' strettamente monotona crescente Mostriamo ora che e' limitata superiormente, consideriamone un termine n > 2; partiamo dalla formula sopra an =   2 + ∑k=2,...n   1 k!   (1 - 1 n )·(1 - 2 n ).......(1 - k-1 n ) ogni termine dentro parentesi e' inferiore ad 1 ed anche il loro prodotto e' inferiore ad 1, quindi se li tolgo il valore dell'espressione aumenta e posso scrivere an <   2 + ∑k=2,...n   1 k! la successione 1/2k-1 e' una maggiorante (per k>2) della successione 1/k!, quindi scrivo         Vediamo perche' e' maggiorante an <   2 + ∑k=2,...n   1 k!   <   2 + ∑k=2,...n   1 2k-1 = Ma quest'ultima e' una progressione geometrica di ragione ½ e posso scrivere (spezzo il 2 all'inizio) = 1 + 1 + ∑k=2,...n   1 2k-1 = 1 + 1 + 1 2 , 1 4 , 1 8 , .......... = 1 + ( 1 + 1 2 , 1 4 , 1 8 , ........) = 1 + 2 = 3 Ho gia' calcolato in questa pagina il valore 2 della somma dei termini della progressione geometrica dentro parentesi e posso scrivere         an < 3 Ma questo vale per ogni n, quindi la mia successione e' limitata ed il suo limite e' inferiore al valore 3 Mostriamo infine che i suoi termini sono superiori al valore 2 (per n>2) partiamo dalla stessa disuguaglianza an =   2 + ∑k=2,...n   1 k!   (1 - 1 n )·(1 - 2 n ).......(1 - k-1 n ) Il valore dato dalla sommatoria e' certamente positvo e, se lo tolgo, ottengo an =   2 + ∑k=2,...n   1 k!   (1 - 1 n )·(1 - 2 n ).......(1 - k-1 n )  >   2 cioe' an > 2 quindi la mia successione (per n>2) ha tutti i termini maggiori del valore 2. Ne consegue cher il limite della mia successione e' un numero compreso fra 2 e 3; in effetti il limite di tale successione e' il numero e o numero di Nepero (od anche di Eulero) e = 2,71828182845..... un numero decimale illimitato e non periodico di importanza fondamentale in molte parti della matematica