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Mostriamo che la successione 1/2k-1 e'una maggiorante (per k>2) della successione 1/k! Bastera' mostrare che per gli inversi vale il contrario: cioe' mostriamo che la successione 1, 2, 4, ......2k-1,... e' una minorante della successione 1, 2, 6, ..... k!, ... Da qui si vede perche' devo mettere per k>2, infatti per k=1 e k=2 le due successioni hanno termine uguale Per induzione dimostriamo che, per k>2, i termini della prima successione sono sempre inferiori ai termini della seconda per k=3 la mia proposizione e' vera 4<6 supponiamo che per k=n la proposizione sia vera: cioe' che valga n! > 2n-1 mostriamo che allora e' vera per k=n+1 devo mostrare che (n+1)! > 2n posso scrivere (n+1)·n! >2· 2n-1 cioe' il termine di indice n+1 si ottiene, prima della disuguaglianza, moltiplicando il termine precedente per n+1 e, dopo la disuguaglianza,moltiplicando il termine precedente per 2; essendo (n+1)>2 ed essendo vera la disuguaglianza precedente sara' vera anche questa Per la legge delle disuguaglianze passando dai numeri ai loro inversi le disuguaglianze cambiano verso, quindi posso scrivere per ogni termine maggiore di 2
come volevamo |
