Serie geometrica Come esempio particolarmente importante di serie consideriamo la serie geometrica 1 + a + a2+ a3 + a4 + ..... se a = 1 allora la serie diventa 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +........ e quindi diverge se a ± 1 allora la ridotta di ordine k e' 1 + a + a2+ a3 + a4 + .....ak-1 e, vista la formula per la somma dei primi k termini di una progressione geometrica abbiamo 1 + a + a2+ a3 + a4 + .....ak-1 = 1 - ak 1 - a i termini sono k perche' partiamo da zero: infatti la ridotta, scritta come somma di potenze e' a0 + a1 + a2+ a3 + a4 + .....ak-1 Quindi, visto quanto abbiamo detto sulla successione geometrica se a > 1 la serie diverge se 0 > a > 1 la serie converge se a = -1 la serie e' indeterminata e si puo' indicare come 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ....... Particolarmente interessante, come serie indeterminata, e' la serie geometrica di ragione i con i unita' complessa i = √(-1) i0 + i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + ricordando che il prodotto delle i e' ciclico, cioe' si ripete ogni 4 fattori i1 = i i2 = √(-1) · √(-1) = -1 i3 = i2 · i = -1 ·i = -i i4 = i3 · i = -√(-1) · √(-1) = -(-1) = 1 i5 = i4 · i = 1 · i = 1 ...................... quindi potremo scrivere la serie come 1 + i - 1 - i + 1 + i - 1 - i + 1 + i - 1 - i +......