Criterio generale di convergenza Talvolta, soprattutto quando si vuol vedere la convergenza della serie stessa, diventa utile considerare le ridotte dei resti di una serie dette anche ridotte parziali; ad esempio la ridotta parziale r k,h del resto k-esimo della serie sopra considerata sara' r k,h = ak+1 + ak+2 + ak+3 + ....+ ak+h Ora il resto k-esimo della serie e' legato alle ridotte della serie dalla relazione r k,h = sk - sk+h infatti facendo la differenza fra le ridotte tutti i termini oltre l'indice k+h si elidono fra loro: infatti     sk = ak+1 + ak+2 + ak+3 + ....+ ak+h + ak+h+1 + ak+h+2 + ak+h+ 3 + ....... sk+h =   ak+h+1 + ak+h+2 + ak+h+ 3 + ....... se faccio la differenza termine a termine ottengo sk - sk+h = ak+1 + ak+2 + ak+3 + ....+ ak+h = r k,h Ma allora basta applicare il criterio di convergenza di Cauchy alla successione delle ridotte sk+1 ,   sk+2 ,   sk+3 , ....... sk+h ,   sk+h+1 ,   sk+h+2 ,  .... per ottenere il criterio di convergenza per la serie stessa La serie a1 + a2 + a3 + .... + an + .... converge se e solo se preso un numero reale ε piccolo a piacere risulta |r k,h| < ε per ogni k >kε (maggiore di un numero naturale opportuno dipendente da ε) e per h qualunque Come conseguenza abbiamo che, se la serie converge, vale limk→∞ rk,h = 0 essendo h un numero naturale fissato a piacere Siccome posso fissare h a piacere ne segue che il resto rk di una serie convergente diventa infinitesimo al crescere di k, cioe' converge a 0 Possiamo dire che la serie ed i suoi resti hanno tutti lo stesso carattere, cioe' o sono tutti convergenti, o tutti divergenti o tutti indeterminati