Proprieta' distributiva di una serie numerica Considero la serie convergente ad s s = a1 + a2 + a3 + a4 + .... se considero la serie ca1 + ca2 + ca3 + ca4 + .... essendo c un numero dato, essa converge verso c·s Chiamiamo, per ora h la serie; per ogni sua ridotta posso scrivere h1 = ca1 = c·s1 h2 = ca1 + ca2 = c(a1 + a2) = c·s2 h3 = ca1 + ca2 + ca3 = c(a1 + a2 + a3) = c·s3 h4 = ca1 + ca2 + ca3 + ca4= c(a1 + a2 + a3 + a4) = c·s4 .................... quindi, d'ora in avanti, chiameremo tale serie cs Possiamo inoltre dire che se c≠0 le serie s e cs hanno lo stesso carattere, cioe' entrambe le serie convergono oppure divergono oppure sono indeterminate Quindi possiamo dire che, per le serie numeriche, sussiste la proprieta' distributiva rispetto alla moltiplicazione per un numero, cioe' c·s = c(a1 + a2 + a3 + a4 + ....) = ca1 + ca2 + ca3 + ca4 + .... = cs Esempio: studiare il carattere della serie 3 2 + 3 4 + 3 8 + ........ e, se converge, calcolarne il valore Vista la proprieta' distributiva sopra considerata, la nostra serie si puo' pensare come 3 · ( 1 2 + 1 4 + 1 8 + ........ ) cioe' come prodotto fra 3 e la serie geometrica di ragione ½ privata del primo termine,e la somma di questa serie vale 1 (fare link), quindi 3 · ( 1 2 + 1 4 + 1 8 + ........ ) = 3 Quindi la nostra serie converge e la sua somma vale 3