La serie armonica Mostriamo ora, come applicazione, che la serie armonica e' divergente Si definisce serie armonica la serie dei reciproci dei numeri naturali s = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ..... Essendo la serie tutta a termini positivi non puo' essere indeterminata, ma puo' essere solamente convergente oppure divergente Considero la ridotta parziale sk, 2k del resto k-esimo della serie sk, 2k = 1 k + 1 k+1 + 1 k+2 + ..... + 1 k+k e' la somma di k termini ed e' sempre maggiore di 1/2, infatti sk, 2k = 1 k + 1 k+1 + 1 k+2 + ..... + 1 k+k > k k+k = 1 2 infatti i k termini sono decrescenti 1/k < 1/(k+1) < 1/(k+2) < 1/(k+3)... (se aumenta il denominatore il valore della frazione diminuisce) e quindi la loro somma e' maggiore della somma di k volte il termine piu' piccolo 1/(k+k) che vale k/(k+k) = k/2k = 1/2 Ora, per il criterio generale di convergenza se il resto k-esimo non tende a zero la serie non e' convergente, e quindi e' divergente, come volevamo mostrare