Criterio del confronto Prima di introdurre il criterio del confronto fra serie a termini tutti positivi o tutti negativi parliamo di maggiorante e di minorante di una serie numerica Definizione date le serie a1 + a2 + a3 + a4 + ..... e b1 + b2 + b3 + b4 + ..... diremo che la prima serie e' una maggiorante della seconda se vale ah ≥ bh ∀ h∈N similmente diremo che la seconda serie e' una minorante della prima Il criterio del confronto fra serie numeriche dice semplicemente che: se le serie sono a termini tutti positivi la maggiorante di una serie numerica divergente e' anch'essa divergente, mentre la minorante di un a serie numerica convergente e' convergente similmente diremo se le serie sono a termini tutti negativi la minorante di una serie numerica divergente e' anch'essa divergente, mentre la maggiorante di una serie numerica convergente e' convergente Esempio 1: consideriamo la serie s1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ..... una serie minorante e' s2 = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 9 + 1 17 + ..... infatti in ogni addendo della seconda il denominatore dela frazione e' maggiore di 1 del corrispondente della prima s2 = 1 1+1 + 1 2+1 + 1 4+1 + 1 8+1 + 1 16+1 + ..... e quindi le frazioni della seconda serie hanno un valore minore degli addendi corrispondenti nella prima serie Essendo la prima serie convergente ne segue che anche la seconda e' convergente In pratica, negli esercizi, rovesciando il ragionamento, per mostrare che una serie a termini positivi e' convergente bastera' trovare una sua maggiorante che sia convergente oppure per mostrare che e' divergente troveremo una minorante che sia divergente Esempio 2 mostriamo che e' divergente la serie s1 = 2 + 1 + 2 3 + 1 2 + 2 5 + 1 3 + 2 7 + ..... Scriviamola come s1 = (1+1) + 1+1 2 + 1+1 3 + 1+1 4 + 1+1 5 + 1+1 6 + 1+1 7 + ..... una sua serie minorante e' la serie armonica s2 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + ..... infatti ogni termine della prima ha il numeratore aumentato di 1 rispetto al termine corrispondente della serie armonicaa e quindi ogni addendo della prima ha valore maggiore del corrispondente addendo della seconda: essendo la serie armonica divergente ne segue che anche la prima serie e' divergente