Serie a termini a segno alterno Una serie si dice serie di termini a segno alterno se i suoi termini di posto dispari (primo, terzo, quinto..) sono tutti positivi mentre i suoi termini di posto pari (secondo, quarto, sesto,...) sono tutti negativi o viceversa Considerando i termini ai tutti positivi possiamo scrivere s = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6 + .... o, viceversa s = - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - .... Per la convergenza della serie a termini di segno alterno vale il teorema di Leibniz: Un serie a termini di segno alterno s = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6 + .... e' convergente se la successione a1,   a2,   a3,   a4,   a5,   a6, .... e' monotona ed infinitesima dimostriamolo come esercizio: Supponiamo sia crescente, e che siano positivi i termini di posto dispari Per ipotesi sappiamo che la successione e' infinitesima, inoltre e' monotona, mostriamo che e' convergente Se e' monotona vale a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ a5 ≥ a6 ≥ .... sia sk e' la ridotta k-esima; risulta per la ridotta 2k+2 (posto pari) vale s2k+2 = s2k + a2k+1 - a2k-2 ≥ s2k       (infatti siccome sommo a2k+1 che e' piu' grande e tolgo a2k+2 che e' piu' piccolo il risultato e' maggiore) per la ridotta 2k+1 (posto dispari) vale s2k+1 = s2k-1 - a2k + a2k+1 ≤ s2k-1       (infatti siccome tolgo a2k che e' piu' grande e sommo a2k+1 che e' piu' piccolo il risultato e' minore) inoltre ho s2k+2 = s2k+1 + a2k+2 ≤ s2k+1       (infatti siccome sommo a2k+2 che e' positivo il risultato e' minore) Da queste relazioni abbiamo che la successione delle ridotte pari s2,   s4,   s6,   s8,  .... e' crescente e limitata superiormente, quindi convergente la successione delle ridotte dispari s1,   s3,   s5,   s7,  .... e' decrescente e limitata inferiormente, quindi convergente Se adesso consideriamo le differenze s2k+1 - s2k = + a2k+1 s2k - s2k-1 = - a2k esse per ipotesi sono infinitesime al crescere di k, e la loro differenza puo' essere resa picola a piacere, quindi la serie e' convergente ed il teorema e' valido, come volevamo