Proprieta' della convergenza assoluta Premettiamo che la convergenza assoluta della serie s a1 + a2 + a3 + a4 + .... equivale alla convergenza assoluta di qualunque suo resto sk ak+1 + ak+2 + ak+3 + ak+4 + .... infatti le serie |a1| + |a2| + |a3| + |a4| + .... ha lo stesso carattere della serie |ak+1| + |ak+2| + |ak+3| + |ak+4| + .... Vale il teorema: Se una serie converge assolutamente allora essa converge Cioe' la convergenza assoluta implica la convergenza; pero' non vale il viceversa: nella pagina precedente hai visto che la serie armonica a segni alterni converge semplicemente mentre non converge assolutamente come esercizio dimostriamo il teorema supponiamo che converga la serie sa = |a1| + |a2| + |a3| + |a4| + .... mostriamo che allora converge la serie s = a1 + a2 + a3 + a4 + .... consideriamo le ridotte parziali rsk,h ed rk,h delle due serie s ed sa rsk,h = |ak+1| + |ak+2| + |ak+3| + ..... + |ak+k| rk,h = ak+1 + ak+2 + ak+3 + ..... + ak+h risulta |rk,h| ≤ rsk,h perche' il modulo di una somma e' sempre minore od uguale alla somma dei moduli inoltre, per il criterio di convergenza della serie sa abbiamo che per k ed h abbastanza grandi avremo rsk,h ≤ ε ma allora abbiamo |rk,h| ≤ rsk,h ≤ ε cioe', per la proprieta' transitiva |rk,h| ≤ ε e siccome ogni numero e' minore od uguale al suo modulo avremo rk,h ≤|rk,h| ≤ ε e, per la proprieta' transitiva rk,h ≤ ε e questo e' il criterio di convergenza che ci mostra che la serie s e' convergente, come volevamo