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Consideriamo la serie a1 + a2 + a3 + a4 + .... essa converge asolutamente se vale limk→∞ k√|ak| = α < 1 essendo α un numero reale positivo e la determinazione della radice quella positiva. Ad esempio, nelle serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...+ 1/n + ... se faccio limk→∞ k√|1/k| ottengo 1 e quindi la serie armonica non converge assolutamente (come abbiamo gia' visto) Intuitivamente, se faccio, radici sempre piu' grandi e trovo che i valori di tali radici "sono abbastanza lontani" da 1 allora la serie converge assolutamente, cioe' converge la serie dei suoi moduli |a1| + |a2| + |a3| + |a4| + .... cioe' se, ad esempio, considerata la serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... faccio 100√|1/100| = 0,954992586 1.000√|1/1.000| = 0,993116048 10.000√|1/10.000|= 0,999309463 ottengo valori sempre piu' vicini ad 1 e che non "sono abbastanza lontani" da 1 Per calcolarli ho impostato sulla calcolatrice del computer 1/n(1/n) e con n = 100.000 gia' la calcolatrice si rifiuta di calcolare il risultato essendo la dimostrazione abbastanza semplice questa la dimostriamo devo dimostrare che se vale limk→∞ k√|ak| = α < 1 allora converge la serie |a1| + |a2| + |a3| + |a4| + .... Se l'ipotesi e' vera allora posso trovare un numero β positivo tale che sia compreso fra α ed 1 α < β < 1 e quindi k√|ak| < β elevando a k entrambe i membri, se k e' abbastanza grande avremo |ak| ≤ βk Se β e' positivo e minore di 1 allora la serie geometrica βk + βk+1 + βk+2... e' convergente Ma tale serie e' una maggiorante della serie |ak+1| + |ak+2| + |ak+3| + .... che quindi converge, come volevamo |
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