Criterio del confronto Consideriamo la serie a1 + a2 + a3 + a4 + .... essa converge assolutamente se vale limk→∞ |ak+1| |ak| = α < 1 Cioe' se faccio il limite del rapporto di due termini consecutivi al tendere degli indici all'infinito e trovo che esso e' un numero positivo inferiore ad 1, allora la serie converge assolutamente, cioe' converge la serie dei suoi moduli |a1| + |a2| + |a3| + |a4| + .... esempio: prendiamo la serie geometrica di ragione 1/2 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ..... + 1 2k + 1 2k+1 + ..... mostriamo che obbedisce al criterio, cioe' mostriamo che vale meno di 1 il limite limk→∞ 1 2k+1 1 2k = limk→∞ 1 2k+1 · 2k 1 = 2k 2k+1 = 2k 2·2k = 1 2 < 1 essendo i termini positivi ho tralasciato i moduli essendo il limite minore di 1 la serie geometrica converge assolutamente mostriamo che, invece, la serie armonica non obbedisce al criterio 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ..... + 1 k + 1 k+1 + ..... essendo tutti i termini della serie positivi tralascio i moduli applicando il criterio ho: limk→∞ 1 k+1 1 k = limk→∞ 1 k+1 · k 1 = limk→∞ k k+1 = 1 intuitivamente, se k tende ad ∞ allora k e k+1 diventano indistinguibili perche' 1 e' trascurabile e quindi sono semplificabili e il loro rapporto vale 1 essendo il limite del rapporto uguale ad 1 la serie armonica non converge assolutamente Per esercizio facciamo la dimostrazione del criterio data la serie a1 + a2 + a3 + a4 + .... devo dimostrare che se vale limk→∞ |ak+1| |ak| = α < 1 allora converge la serie |a1| + |a2| + |a3| + |a4| + .... supponiamo che valga il criterio allora posso trovare un numero β positivo tale che sia compreso fra α ed 1 α < β < 1 e quindi, per un valore k abbastanza grande avremo |ak+1| |ak| < β otteniamo |ak+1| < |ak|·β se ora lo facciamo per k+2 otteniamo     |ak+2| < |ak+1|·β < |ak|·β2 se lo facciamo per k+3 otteniamo     |ak+3| < |ak+2|·β < |ak+1|·β2 < |ak|·β3 se lo facciamo per k+4 otteniamo     |ak+4| < |ak+3|·β < |ak+2|·β2 < |ak+1|·β3 < |ak|·β4 ........................................... quindi la serie |ak+1| + |ak+2| + |ak+3| + |ak+4| + ... ha come maggiorante la serie |ak|·β + |ak|·β2 + |ak|·β3 + |ak|·β4 + .... cioe' |ak|·(β + β2 + β3 + β4 + ... ) che e'prodotto fra un termine finito positivo ed una serie geometrica di ragione β con β positivo e minore di 1 e quindi e' convergente; ne segue che anche la minorante |ak+1| + |ak+2| + |ak+3| + |ak+4| + ... e' convergente, ma essa e' una ridotta della serie |a1| + |a2| + |a3| + |a4| + .... che quindi e' convergente, come volevamo